ELTE, I.Fizika BSc, 2006/2007 II.félév

 

Elektromágnesség

8. (2007. IV.13-18)

 

Elekromágneses hullámok:

 

Keressük a Maxwell egyenletek hullámmegoldásait:

; ; ;

 

1) Lineáris egyenletek, r = 0, j = 0 ; 2) er = állandó, mr = állandó

 

3) Csak z irányba terjedő haladó hullám esetén:

 

E =   ;  H =

; ; ;

Az x, y függés hiánya miatt a div = 0 egyenletekből:

; ; illetve ;  következik,

azaz transzverzális a hullám!

 

Az rotációs egyenletekből:

(az egyszerűség kedvéért E –nek csak x komponenst tételezünk fel)

;;

;

 

tehát :                    ; avagy ; illetve .

Vákuumban:   (c a vákuumbeli fénysebesség)

Nem vákuumban (ha er = állandó, mr = állandó):  (v a közegbeni fázissebesség: vf = c/n),

ahol n a törésmutató:    .

Az w/k (= vf ) -t azért nevezzük fázissebességnek, mert a  tag argumentuma,

a fázisa j = w t - k r (állandó).

S vf ezen állandó fázisú felület térbeli terjedését jellemzi: (vf = r/t)

 

Diszperziós reláció.

 

Ha az w(k) függvény lineáris, akkor nincs diszperzió, (mert azt nevezzük diszperziónak, amikor az n törésmutató /ill. er / függ a frekvenciától).

 

Vízre: ;   

Sztatikus;    fény frekvencián

 

 


Újból elektromágneses hullám:

 

; ; ;

; ; ;

; 

 

;

 

vákuumban:

Hullámegyenlet:

;

 

Hullámegyenlet általában (F-re):

 

 

Milyen az ilyen hullámegyenlet:

     Vektorra          hullám  Szövegdoboz: transzverzális
longitudinális

 

Skalárra:  ;

Egyszerűsítés:

;

 Þ

Vizsgáljuk a  esetet:

Ekkor   ,  tehát:

 

 

A megmaradó egyenleteink:

   és    , tehát

és .

 

a) 1 Dimenzió

Ezek így egy egyszerű egydimenziós hullámegyenletek:

Diszperzió mentes hullám.

Két megoldás van:

F(z, t) = f( z - ct)

F(z, t) = g( z + ct);

Az általános megoldás:

F(z, t) = f( z - ct) + g( z + ct);

 

Speciálisan: ha Ex (z, t) = f( z - ct) ; ekkor: ; Þ

Speciálisan: ha Ex (z, t) = g( z + ct) ; ekkor: ; Þ

 

ahol [ e c = 1/mc ] , vagy [e m c2 =1]

Mivel nincs diszperzió a hullámcsomag megtartja alakját.


 

Transzverzális hullám.

 

Harmonikus hullám: (f, g egyszerű trigonometrikus függvények).

 

Ex (z, t) = A cos{k( z - ct) - j} = A cos{(k z - k c t) - j} = A cos{( w t - k z ) + j}

                            w = c k                                                                       cos( w t -k z )            

w -körfrekvencia ; k -hullámszám                     sin( w t -k z )

w = 2p n = 2p/T        ; k = 2p/l

 

 

Ez egy speciális hullám (az energia (S) oda-vissza áramlik):

 

Ex (z, t) = A {cos( w t - k z ) + cos( w t + k z )} = 2 A cos( w t) cos(k z )

Hy (z, t) = (A/mc) {cos( w t - k z ) - cos( w t + k z )} = 2 (A/mc) sin( w t) sin(k z )

 

b) 3 Dimenzió

 

;

 

 

;

 

 

 

div l a =l div a + a grad l

 

 ; 

 

Ilyen gömbhullám a hang gömsugárzó (gömb hangszóró)

(gömb mikrofon)

 

Ilyen elektromágneses hullám nincs.

Az E , H vektor, nem skalár.

 

 

Dipólsugárzók:

 

Az elektromágneses hullámuk anizotróp:

 

forrás: elektromos dipól

dipól antenna

forrás: mágneses dipól

(köráram)

ferrit antenna

 


 

Egy sugárzó dipólus  tere (EJ = E(r)sinJ , ahol J (aÐr) és EJ  ^ r)

 


Diszperzió e(w), m(w)

(Az anyagállandók frekvenciafüggését eddig nem tárgyaltuk).

Leginkább a dielektromos állandó függ a frekvenciától:

(A mr -t általában frekvencia-függetlennek tekintjük)

 

                  (ill. ennek valós része)

               ill. ennek valós része, azaz harmonikus hullám

 

E =   ;  H = ;

 

D = er eo E =  e E  ;  B = mr mo H =  m H

 

D(r, t)== ; B(r, t)= =

 

;                                                                        

;                                                                         

transzverzális hullám

;                                 

 ;                                   

Az első két egyenletből Eo , Ho is merőleges k –ra (transzverzális hullám)

 a harmadik-negyedik egyenletekből Eo  Ho egymásra is merőlegesek!

 

Sőt:

tehát :                             ; avagy ; illetve .

Vákuumban:   (c a vákuumbeli fénysebesség)

Nem vákuumban (ha er = állandó, mr = állandó):  

(v a közegbeni fázissebesség: vf = c/n), ahol n a törésmutató:           .

Amennyiben a  függvényben, a  tagnak is van frekvencia függése az

függvény nem egyenes.


Mit jelent az függése:.

Az ha nem állandó /frekvenciafüggő/, ha az w(k) függvény nem lineáris.

Eddig P = eo c E , a kauzalitás miatt ez nem tartható

 

 

 

P = c eo E

 

Po = eo c(w) Eo

 

c(w) = Re c(w) +  i Im c(w)

diszperzió          elnyelés