ELTE, I.Fizika BSc, 2006/2007 II.félév

 

Elektromágnesség

5. (2007. III. 10-14)

 

Mágnesség (a B mágneses tér)

 

Kétoldalról közelítjük:

 

Mágnes

 

- Két mágnes kölcsönhatása

 (A földi mágnesség és az iránytű)

 

Áram mágneses hatása

 

- Áram hat mágnesre (vezetékben levő áram forgatja az iránytűt)

- Mágnes hat áramra (display)

- Áram hat áramra

 

 

 

A mágnes létrehoz egy teret (mezőt) ami hat a mozgó töltésre (áramra).

A Lorentz erő, a B vektor (mágneses indukció) definíciója

 

1.)              Az erő ^ merőleges az elektronok sebességére.

2.)              Az erő arányos a töltéssel.

3.)              Az erő arányos a sebességgel.

Szövegdoboz:  F = q ( v x B )

 [B] = [] =  [] =  []

 

A B –t az áram is létrehozza.

Egyenes vezető tere:

 mo= 1.256 10-6 =

    

Magnetosztatika egyenletei

Szövegdoboz:  Szövegdoboz:

          Ampere törvény

 

 

Az áramvezetőre hatóerő:

 

F = N q(v x B) Þ

F == j A ℓ B.= I ℓ B

( j = n q v =N/V q v ; I = j A ; V = A l)

 

Szövegdoboz: F = I (ℓ x B )

 

 

Párhuzamos áramok között hatóerő:

 

F = I l B = I1 l ()

F =

(I1= I2= 1A; r= 1m; = 1 m; F = 2 10-7N)

Az 1 amper definíciója!

 A párhuzamos áramok vonzzák egymást, az ellentétesek taszítják egymást.

  


 

Az alapegyenletek:

 

Szövegdoboz:                               div B = 0    (egy egyenlet)

 

Szövegdoboz:

                            rot B = mo j (három egyenlet!)

                , mert

Csak akkor helyes, ha a töltések áramlása stacionárius.

(Kondenzátorra nem jó!)

 

 

Kondenzátor feltöltésekor a töltéssűrűség időben nem állandó, ezért nem igaz a 

div j = 0!

 

(Helyette kontinuitási egyenlet kell) !

 

 

Biot-Savart törvény:

(Az áram tere (indukciója: B) is ~ 1/r2es távolságfüggést mutat)

Szövegdoboz:

 

 

 

 

 

A vektorpotenciál (A)

            Bevezetjük a mező jellemzésére a (nem skalár-, hanem) vektorpotenciált, melynek a (térbeli) deriváltja (rotációja és nem a gradiense) adja a teret.

B = rot A ;          feltétel  (Coulomb: div A = 0 )!

 

rot rot A = mo j     azaz

;

div A = 0 esetén:               


A vektorpotenciál és a skalárpotenciál összehasonlítása:

 

Vektorpotenciál

Skalárpotenciál

B = rot A

E = - grad F

rot B = mo j

div E = r /eo

 

rot rot A = mo j

grad div A - D A = mo j

 

- div grad F = r /eo

D A = - mo j

D F = - r /eo

 

Speciális esteben, ha (vékony) drótban folyik az áram:

A drót (A’ = òò dr2 ) keresztmetszetére kiintegrálhatunk. Az Afelületen (a vezetékben mindenhol) I áram folyik. Az A vektor iránya a vezeték aktuális iránya dr.

 

=

 

 

Ezek után a Biot-Savart törvény:

Az infitezimális áramok (I ds) infitezimális tér járulékairól (indukciójáról: dB) értelmes beszélni és azok szuperponálódnak. Az integrál:

 

Szövegdoboz:

 

 

 

 

 


A Coulomb feltétel teljesülésének ellenőrzése:

 

==

== = =+= 0

 


(felületi integrál, távol: = 0;                   kont. egy.:  = 0).

 

mert: , azaz  és

, valamint  és  a kontinuitási egyenlet miatt.

Szövegdoboz: div j + ¶r /¶ t = 0

 kvázistacionárius esetben: div j=0div A=0

 

Szupepozició (az áramkörök is szuperponálódnak):

 

Egyenes áramvezeték tere.

A Biot Savart törvény alkalmazása.           

 

z (-¥,¥)

|dr| = dz

|r-r| = Ö R2+z2

| (r-r’) x dr| = R dz

z = R tgj; dz = R/cos2j dj

j (-p/2, p/2)

R2+z2 = R2 (1+tg2j)= R2/cos2j

A tekercs, szolenoid tere

 

B l= mo I N

 


 

Egyenes áramvezeték vektorpotenciálja     

Egyenes töltött vezeték skalárpotenciálja

 

Körvezeték vektorpotenciálja (tőle távol)

(Mágneses momentum)           

 

Dipólus skalárpotenciálja (tőle távol)

(Dipólmomentum)

 

 


Áramhurok tere és vektorpotenciálja

 

 

 

 

                       x’<<x miatt az integrál a-val arányos.

                miatt az integrál b-vel arányos.

 , ahol m a mágneses momentum. m = I f

                                                           f- az áramhurok felülete: = ab

                         A =

(hiszen x2 +y2 = r2 –z2)

 


Mágneses momentumra ható erő                     Dipólus momentumra ható erő (külső térben)

                                            

 

Mágn. momentumra ható M forg. nyomaték                Dipól momentumra ható M forg.nyomaték