ELTE, I.Fizika BSc, 2006/2007 II.félév

 

Elektromágnesség

2. (2007. II. 21-23)

 

A potenciál, feszültség  U(r), F(r) (skalár- vektor függvény):

 

         Ismert: gravitációs térben, helyzeti energia ≡ potenciális energia

 

Gravitációs erő:

 

F(r) = -

(r = -R)

 

Potenciális energia:

Up(r) = -

(r = | r | )

 

 

 

F(r) = - gradr Up(r)

 


 

 

                 

 

Elektrosztatika (potenciál, feszültség U(r)):

E = F  / q !

 

 

egyenértékű a

potenciál létezésével!

(t.i. térbeli ponthoz rendelt az U, hiszen útvonalfüggetlen a DU ).

 

Szembe megyünk a térrel:

ekkor U

         Gyakran mondjuk: feszültség ≡ potenciál (U)

         holott:                               feszültség ≡ potenciálkülönbség (DU)

                               (a potenciál = az függvény U(r)!)

 

Itt is potenciális energia az U (csak töltés egységre jutó, fajlagos energia)

e U(r ) = Up(r)               egysége: [ U] = [ E] [ r] = Volt = [ V]

 

                                                                                                  [ V/m] [ m]

 

                                              

                                                       Young tétel

                                              

                                              

 


Mi lett a másik egyenletből?

 

   ;            ;

 ;  ;

 

Poisson egyenlet

 

Matematikája kidolgozott.

Számítógéppel (térrácson):

 

 

 


Potenciál ábrázolása

 

 

1 Dimenzió

(távolság)

 

 

 

2 Dimenzió

(síkbeli)

U(r)= állandó ,

szint vonalak

3 Dimenzió

(térbeli)

U(r) túl sok a dimenzió ( x, y, z,+U)

U(r)= állandó ,

ekvipotenciális felületek

 


 

        

 

A szintvonalak és a térerősség egymásra merőlegesek (^).

Az ekvipotenciális felületek és a térerősség egymásra merőlegesek (^).

 

U(r + dr) - U(r) = 0 

(dr a szintvonalon)

(U(r )+ grad U dr) - U(r) = 0 

(grad U(r)) dr =0

(- E(r)) dr =0

 

 


Töltéseloszlások:

-Diszkrét töltések ( pont, 0 Dim.)

         Térerősségek szuperpoziciója   Þ

         Potenciálok szuperpoziciója:

                   U(r)  =  

 

-Térfogati töltéseloszlás (3 Dim.)

töltéssűrűség:

r =

 

         qi = r dV' ;  ri = r'

 

U(r) =

 

-Felületi töltéseloszlás (2 Dim.)

felületi töltéssűrűség:

h =

 

         qi = h dA' ;  ri = r'

 

U(r) =

 

-Vonalmenti töltéseloszlás (1 Dim.)

vonalmenti töltéssűrűség:

s =

 

         qi = s dl' ;  ri = r'

 

U(r) =


Speciális (pont) töltéselrendeződések:

1.)   Monopólus

Egy töltés önmagában.

E(r)  =  

U(r) =  

Pl. :    origóban (r1 = 0).

U(r) =  

 

 

2.)   Dipólus (töltéspár)

Azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltések párban (semleges; S qi = 0), egymástól l távolságban.

 

U dip(r)  =   =

==

U d(r) ~                     (ahol p= lim q l )

                            p a dipól momentum

 

Ed(r)  =   -

Ed(r)  ~

 Két főhelyzet (r>>l):

1.     a tengelyen: r||p

E1 =

2.  a tengelyre merőlegesen: r^p

E2 =

 

 

 

 


 

3.)   Kvadrupólus (négy töltés)

Azonos nagyságú, de ellentétes előjelű dipólusok párban

(semlegesek Sqi = 0, és a nincs eredő dipól sem Spi = 0).

 

Uq(r) ~; Eq(r)  ~

Az elnemtűnő potenciáljárulék arányos a Q kvadrupól momentummal (tenzor):

Qi,j =  q [ (l1)i (l2)j+(l1)i (l2)j ]

 

 

4.)   Oktupolok (nyolc töltés) és multipólok

Nyolc szimmetrikus "kioltó" töltés a kocka csúcsaiban, amelyeknek még a Q kvadrupólmomentuma is = 0.

 

Uoct(r) ~; Eoct(r)  ~

 

 

 

 

      

 

Tétel (multipólok):

Térfogati töltéseloszlás helyettesítése töltés konfigurációkkal, tőle távol.

U(r)=

 

r(r’)= monopol+ dipol+ kvadrupol+ oktupol +….

 

 

 


Elektrosztatika és anyagok

1.) Vezetők

Vezetőkben a töltések szabadon elmozdulhatnak (hosszú távon).

Fémek : ionok (+) állnak és szabadon mozgó elektronok (-).

Szupravezetők   (fémek és kerámiák). Az elektronok Cooper párt alkotnak

Ionos vezetők:            a) elektrolitok (Az ionok az oldatban mozognak)

                                  b) szuperionos vezetők (Ag I). (I- áll, Ag+ mozog)

 

Veztőn belül nincs térerősség

(Ebelül = 0).

Vezető határán csak a felületre (dA) merőleges (normális) komponens van (Ehat ^ dA), mert az érintő irányú (||) (tangenciális) komponens eltűnik

(E||hat = 0).

 

Þ A vezető ekvipotenciális felület!

 

 

 

 

  

 

 

1.1)         A kapacitás fogalma, kondenzátor

Történelem: elektromosság - fluidum

 

Folyadék

 

Víz

feltölthető

(villanyozható)

Leideni palack

 

Faraday kondenzátor

(két fém)

 

[ Farad]

 

U2 - U1 ~ Q

(a szuperpozició elve !)

U2 - U1 = Q

C (a kapacitás) az erővonalak geometriájának jellemzője.

 

U ~;                DU ~ Þ   C ~ r  (hosszjellemző)

   [ C] = [  ] = [  ] =  [ Farad]

 

Síkkondenzátor

(az erővonalak a (sík) fegyverzetek közé kondenzálódnak, sűrűsödnek)

 

   

 

 

Széthúzással a d nő:  

A)           Q = áll. U nő (gépek) ;           

B)           U = áll. Q nő.

 


Gömbkondenzátor

 

 

 

 

Beszélhetünk a gömb (r) kapacitásáról (R®¥):

 

 

A föld kapacitása nagy, sok töltést felvesz anélkül, hogy a feszültsége változna!

Így a föld stabil feszültségű, ami a földelés egyik lényeges tulajdonsága.

 

1.2           A kondenzátor energiája

Feltöltődik:           Q = U C

 

1.3           Kondenzátorok összekapcsolása

a)     Párhuzamos kapcsolás:

 

 

 

Ekvipotenciális (vezeték) és additív töltés.

 

 

 

 


b)    Soros kapcsolás:

 

Megosztás (vezeték) és additív potenciál.

 

c)     Bonyolultabb kacsolások:

 

 

 

1.4)        Csúcshatás

                 

 

;             (R1, R2 gömbök párhuzamos kapcsolása) Þ

U = U1 = U2 (ekvipotenciális);    C = C1 + C2 ;       Q = Q1 + Q2 ;

 

; Þ ;

 ;

Kis görbületi sugár Þ nagy térerő (a tűhegynél szikrázás).


1.5)   Megosztás

 

A kondenzátorban is semleges a (megosztó) töltés és a megosztott töltés együttesen.

(Az erővonalak egy szűk térrészben sűrűsödnek.)

 

1.6) Elekrosztatikus gépek

                  Pelletron                         Megosztásos gép (Thompson)