ELTE, I.Fizika BSc, 2006/2007 II.félév

 

Elektromágnesség

10. (2007. IV.25-V.2)

 

A Maxwell egyenletek átírása potenciálokra:

 

Þ  ; de  ? Þ már nem megfelelő.

             Þ

Szövegdoboz:

 ;

 

 

;

 

Szövegdoboz:

Csúnya, de egy feltételt lehet kikötni A-ra.

Lorentz feltétel:           

 és

 

 és

Szép szabályos egyenletek:        U=  és  A=

ahol a D'Alambert operátor.

Vegyük a U egyenlet e szorosát és  -t;

valamint a A egyenlet m-szörösét és -t

 

=

= 0                   = 0

(Lorentz felt.                Kontinuitási egyenlet)

 

Ellenőrizzük, hogy a homogén egyenlet teljesíti e a a Lorentz feltételt!

; ;

A Lorentz feltétel: Þ

 és  ill. [e m c2 = 1]

 ;  ;

 és  (E, B transzverzális)

 

A Laplace–Poisson és a D'Alambert egyenlet megoldásainak összehasonlítása:

;                         

 

;                         


         Kitekintés a relativitás elméletbe:

A.   Einstein 1905 „Mozgó testek elektrodinamikájáról

Négy koordináta:            x, y, z, ct

Távolságnégyzet:   x2 + y2 + z2 - c2t2  (lehet negatív is)

                                      (Az időt kicsit másként kell definiálni)

                    x = ( x , y , z , c t )

          j = ( jx , jy , jz , c r )

         .A= (Ax, Ay, Az, 1/c U)

 

Lorentz feltétel:    div(4) A = 0 ;

A D'Alambert operátor:

                            º

 

Hogyan transzformálódik egy négyes vektor:

v = (vx, vy , vz , vt )

         vx2+ vy2 + vz2 - vt2 = invariáns

 x2 + y2 + z2 - (ct)2 = invariáns

          jx2+ jy2 + jz2 – (cr)2 = invariáns

         Ax2+ Ay2 + Az2 – (U/c)2 = invariáns

 

Lorentz transzformáció, ami a Maxwell egyenleteket invariánsan hagyja:

         Négy egyenlet, négy ismeretlen:

x’ = a11 x + a12 t ;

 t’ = a21 x + a22 t

x’2 - c2t’2 = (a112 – c2a21) x2 -2 (a11 a12 – c 2a21 a22) xt + (a122 – c2a22) t2

                =1                          =0                             = -c2

x' =0; ® a11 x + a12 t = 0; x/t = -a12/ a22 =  v

Megoldás:  ;



Az elektromágneses tér energiaviszonyai:

 

RC kör:

 

 

 ;  ;

;  Þ

= ; Þ

A töltésben energia volt, ami átment az ellenállásra.

 

A kondenzátor (Hol áramlik az energia?)

 

 

; ;

;

;

Kezdetben:

;

 

 = E H (a palást felszíne)

 

Poynting vektor S º az energiaáramlás vektor:         

S = E x H

[S] =  [  ]

Az energia a kondenzátor palástján áramlik ki!

 

A fegyverzetekről kiáramló töltések (ellentétesen áramlanak, de töltések eltérő előjele miatt az áramirány azonos) töltéspárt alkotva, magukkal viszik ki a fegyverzetek közül az erőteret jelző erővonalakat, de oldalirányban.

A mező és a hozzátartozó energia áramlik ki a paláston.

            b) Az ellenállás

             (A kondenzátorból kijövő energia hogyan halad tovább?)

               

 

 

Az energia nem a drót mentén megy, hanem a paláston áramlik be a vezetékbe (és hő fejlődik).

 

 

Hogyan lehet általánosan belátni?

 

Kontinuitási egyenlet:

 

Az N mennyiség (egy adott térfogatban) az I áram és az S forrás miatt változik az időben:

Integrálisan:; ill. differenciálisan (térfogategységekre vonatkozóan, azaz) a sűrűségekkel kifejezve:r- az N sűrűsége = N/V; j = az I áram /felületi/sűrűsége = I/A; s az S sűrűsége = S/V forrássűrűség, azaz ; ;

 ; N legyen most az energia!

(rE - az energiasűrűség; jE - az energiaáram sűrűség; sE az energia-forrássűrűség)

 

rE = w = ½ ( E D + H B ) ;és (ezt akarjuk belátni)

 

jE = S = E x H

 

       A munkavégzéskor az energiaforrásról (sE) mit tudunk ?

 

            Az időegységre vonatkoztatott munka a teljesítmény (P), annak térfogategységre vonatkoztatott része a teljesítménysűrűség:

       p = P/V = (W/V)/t = w/t = f v = - r E v = - j E , tehát sE = - j E

(ahol f az erősűrűség = F /V)

 

            A tér, a mező energiája fogyhat (sE < 0 ), mert Joule hővé ( j E) alakulhat, /ez a forrás negatív, tehát "nyelő", ekkor energiadisszipáció van./.

 

       A  -ből kifejezve a j-t (és késsőbb felhasználva a -t):

          =  =

         =

          =

             Ez az egyenlet már a kívánt alakú:


 

Energiaáramlás hullám esetében.

 

A fény impulzusa (a fénynyomás) /olyan kicsi, hogy nehéz kimutatni/.

 N legyen most a p impulzus egyik (j.) komponense:

 = , ahol

g = p /V : az impulzussűrűség vektor; : a Maxwell féle feszültség (tenzor)

f = F /V : az erősűrűség vektor.

Szövegdoboz: g = D x BSzövegdoboz: f = r E + (j x B)

;

 

 

Szövegdoboz: g = em ( E x H )

Szövegdoboz: g = (1/c2) S

 

 

 

[g] =  [  ] ; [S] =  [  ]

 

A Lebegyev kísérlet (1900) /fénynyomásmérés torziós ingával/                           

A fénynyomás a transzverzális tér (E) longitudinális effektusa (FL)

 

FLorentz (kicsi); FL= Q (v x B)

 

velektronE, transzverzális ; FLS, g longitud.

 

          pfénynyom. = F/A =

 

Dôpimp.ô/ (Dt A) = Dôg Vô/(Dt A)

 

, mivel                V = ( c Dt ) A 

/hiszen a tükröt elérő sugarak: h = c Dt magasságú;

A keresztmetszetű térfogatban vannak, és az impulzusváltozás az impulzus kétszerese/

 

p = 2 ôgô c

 

pfénynyom.= 2 w

g = S/c2 = w e /c

 

Kísérlet (nem /gáztöltésű/ bolométer !):

- torziós inga                          kis nyomás ( pNapfény = 4.4 10-8 Pa )

- Brown mozgás zavar            periodicitás (jelösszegzés, belengetés, rezonancia)

 



A mező impulzusmomentuma (impulzusnyomaték):

 

a) Egy hengerkondenzátor belső fegyverzetét -Q, külső fegyverzetét +Q töltéssel feltöltjük (ekkor sugár irányú E elektromos tér keletkezik). A kondenzátor belső fegyverzete rögzített, külső fegyverzete három fémszálon függve lóg. A kondenzátort tengely irányú (E -re merőleges) B homogén mágneses térbe helyezzük. Ebben a helyzetben az S Poyntig vektor körkörösen cirulál a kondenzátor tengelye körül. A fegyverzetek rövidre-zárásakor (a tartó fémszálakon keresztül) az impulzusmomentum megmaradása miatt a külső fegyverzet (a Poynting vektor forgásával egyező irányban) elfordul. A g impulzus-sűrűséghez n impolzusmomentum sűrűség is tartozik,amely rövidrezáráskor eltűnik.

 

Szövegdoboz: n = N/V= r x g

 

b) Egy körlap szegélye mentén Q töltésű gömböket helyezünk el forgás-szimmetrikusan, így az Q E térerősség sugarasan kifelé mutat. A körlap közepén egy (a koronggal egytengelyű) tekercsben I áram folyik, melynek a mágneses tere B a körlap síkjára merőleges. Az áram megszakításakor a körlap elfordul, mert a megszakítás előtt körkörösen cirkuláló energiához (S Poyntig vektorhoz ill. g impulzussűrűség vektorhoz) impulzusmomentum tartozik, amely meg kell maradjon.

           

A sztatikus terekhez is (körkörösen) áramló energia és áramló impulzus tartozik.

 

c) Einstein—De Haas kisérlet

A ferromágneses rúd átmágnesezésekor elfordul.